Le GDR TRAG a été lancé en janvier 2019 avec pour but de regrouper la communauté française autour de la théorie des trajectoires rugueuses, sous ses divers aspects (équations rugueuses, systèmes dynamiques, équations aux dérivées partielles stochastiques, apprenstissage stattistique, lien avec la renormalisation, ...).

TRAG 2019  aura lieu à l'IECL à Nancy du 9 au 11 octobre 2019. C'est la conférence de lancement du GDR dans le but de permettre aux différents participants de se rencontrer et de se connaître. Elle est ouverte à tous les membres du GDR et à tous ceux qui s'intéressent à cette thématique.

Cette conférence est soutenue financièrement par le GdR TRAG (CNRS INSMI), l'Institut Elie Cartan de Lorraine et le pôle AM2I de l'Université de Lorraine.

TRAG 2019 bénéficie du soutien administratif de Mme Nathalie Benito (IECL).

La conférence commence le mercredi 9 octobre en début d'après-midi, avec un repas sous forme de buffet le mercredi midi, et se terminera le vendredi 11 octobre en milieu d'après-midi.

Etat provisoire des  titres et résumés

Nils Berglund : Introduction à la renormalisation BPHZ (mini-cours)

On appelle renormalisation BPHZ un ensemble de méthodes combinatoires introduites par Bogoliubov, Parasiuk, Hepp et Zimmermann dans les années 1950-1960 pour l'étude de diagrammes de Feynman en théorie
quantique des champs. Ces méthodes ont récemment connu un regain d'intérêt suite à leur application aux EDPs stochastiques par Bruned, Chandra, Hairer et Zambotti [1]. Nous discuterons quelques idées de base de cette théorie, en particulier la formule de forêts de Zimmermann et la notion de secteur de Hepp, en nous basant sur l'article [2]. Une application à des EDPS avec Laplacien fractionnaire servira de source d'exemples (travail en commun avec Yvain Bruned [3]).

[1] Yvain Bruned, Martin Hairer, et Lorenzo Zambotti. Algebraic renormalisation of regularity structures. Invent. Math., 215(3):1039–1156, 2019.
https://arxiv.org/abs/1610.08468

[2] Martin Hairer. An analyst's take on the BPHZ theorem. In Comput.  Combin. Dyn. Stoch. Control, pages 429–476, Cham, 2018. Springer International Publishing.
https://arxiv.org/abs/1704.08634

[3] N.B. et Yvain Bruned. BPHZ renormalisation and vanishing subcriticality limit of the fractional $\Phi^3_d$ model
https://arxiv.org/abs/1907.13028

Youness Boutaib : A short review of rough paths on manifolds

We review two alternative ways of defining rough paths which are naturally well-suited to manifolds without having to add too much structure (for example a metric) on them. The first definition looks at rough paths as functionals on the space of all Banach space-valued Lipschitz one-forms (based on 'Rough paths on manifolds', by Cass, Litterer and Lyons), while the second one considers rough paths as a collection/concatenation of local rough paths defined on domains of charts (joint work with T. Lyons).

Rémi Catelier : Equations Différentielles Rugueuses à champs moyens

Laure Coutin : Young and Rough Differential Inclusions

Adeline Fermanian :  Learning with signature

Paul Gassiat : Non-unicité pour les équations rugueuses réfléchies

Antoine Lejay : Le lemme de la couturière non-linéaire (travail commun avec Antoine Brault).

Dominique Manchon : Chemins rugueux branchés planairement et équations différentielles
singulières sur les espaces homogènes (travail commun avec Charles Curry, Kurusch Ebrahimi-Fard et Hans Munthe-Kaas).

L'espace des champs de vecteurs sur un espace homogène est naturellement muni d'une structure d'algèbre post-Lie. Le dual gradué de l'algèbre enveloppante de l'algèbre post-Lie libre engendrée par un ensemble est une algèbre gradée connexe de forêts enracinées décorées planaires (algèbre de Hopf de Munthe-Kaas et Wright). Nous introduisons les chemins rugueux associés à cette algèbre de Hopf, nous montrons un analogue du théorème d'extension de T. Lyons pour ceux-ci, et nous les utilisons pour résoudre les équations différentielles sur un espace homogène pilotées par des champs de vecteurs $\gamma$-Hölder avec $\gamma$ dans l'intervalle $]0,1]$.

Nicolas Marie : Problème de réflexion de Skorokhod associé à une équation différentielle rugueuse et à un processus de Moreau : aspects théorique, numérique et statistique.

Il existe essentiellement deux façons de contraindre la solution d'une équation différentielle stochastique à évoluer dans un sous-ensemble fermé de l'espace. La première méthode consiste à choisir le champ de vecteurs de l'équation de sorte qu'au bord de l'ensemble contrainte le bruit devienne négligeable et qu'une force de rappel s'exerce sur la solution. Il s'agit d'une condition d'invariance. La seconde méthode consiste à ajouter à la solution de l'équation un processus repoussant cette dernière à l'intérieur avec une force minimale chaque fois qu'elle touche le bord de l'ensemble contrainte. Il s'agit d'un problème de réflexion de Skorokhod et c'est le sujet de cet exposé. Plus précisément, l'exposé portera sur l'existence, l'unicité, l'approximation et l’estimation de la composante tendancielle de la solution d'un problème de réflexion de Skorokhod associé à une équation différentielle rugueuse et à un processus de rafle de Moreau pour un ensemble contrainte convexe, compact et dépendant continûment du temps au sens de la distance de Hausdorff. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Charles Castaing et Paul Raynaud de Fitte.

Alexandre Richard : Techniques de pénalisation pour les équations différentielles rugueuses en dimension 1

In this talk, I will show how to solve real-valued rough differential equations reflected on a rough boundary using penalization.  The solution is constructed as the limit of a sequence of solutions to RDEs with unbounded drifts (called penalisation). Along the way, we thus also provide an existence theorem and a Doss-Sussmann representation for RDEs with a drift growing at most linearly. A speed of convergence of the sequence of penalised paths to the reflected solution is obtained.
Finally we will discuss how to use the penalisation method to show that for some Gaussian RDEs reflected on the horizontal line, the restriction to (0,\infty) of the law at time t>0 of the solution is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. Joint work with E. Tanré and S. Torres.

Damien Simon : Anomalie d'aire dans la limite d'échelle de chaînes de Markov cachées

Lorenzo Zambotti : Groupe d’automorphismes des chemins rugueux branchants